PHƯƠNG PHÁP PHẦN TỬ HỮU HẠN KHÔNG – THỜI GIAN GIẢI XẤP XỈ PHƯƠNG TRÌNH PHẢN ỨNG KHUẾCH TÁN
Nội dung chính của bài viết
Tóm tắt
Trong bài báo này chúng tôi trình bày phương pháp phần tử hữu hạn không-thời gian (space-time finite element method) giải xấp xỉ phương trình phản ứng khuếch tán. Khác với các phương pháp số truyền thống phân tách xấp xỉ miền thời gian và không gian riêng biệt, phương pháp này rời rạc đồng thời miền Q = Ω × (0, T ) trên cùng một cấu trúc lưới, giúp tối ưu chi phí tính toán và nâng cao độ chính xác của nghiệm xấp xỉ. Cách tiếp cận của phương pháp là đưa bài toán ban đầu về dạng biến phân (bài toán yếu). Tính đặt chỉnh của bài toán yếu được chứng minh thông qua việc áp dụng định lí Banach–Nečas–Babuška, đảm bảo sự tồn tại, duy nhất nghiệm. Phân tích đánh giá sai số tiên nghiệm (a priori error estimates) cho thấy phương pháp đạt tốc độ hội tụ tối ưu trong không gian tương ứng. Tính hiệu quả và độ chính xác của phương pháp được kiểm chứng qua các thí nghiệm số được xây dựng trên phần mềm mã nguồn mở FreeFEM++.
Từ khóa
đánh giá sai số tiên nghiệm, FreeFEM , phương trình phản ứng khuếch tán, Phương pháp phần tử hữu hạn không-thời gian
Chi tiết bài viết
Tài liệu tham khảo
Ern, A., & Guermond, J.-L. (2004). Theory and practice of finite elements (Vol. 159). Springer.
Ern, A., & Guermond, J.-L. (2021a). Finite elements I: Approximation and interpolation (Vol. 72). Springer. https://doi.org/10.1007/978-3-030-56341-7
Ern, A., & Guermond, J.-L. (2021b). Finite elements II: Galerkin approximation, elliptic and mixed PDEs (Vol. 73). Springer. https://doi.org/10.1007/978-3-030-56923-5
Frey, P., Kazerani, D., & Ta, T. T. M. (2018). An adaptive numerical scheme for solving incompressible 2-phase and free-surface flows. International Journal for Numerical Methods in Fluids, 87(11), 543-582. https://doi.org/10.1002/fld.4502
Hecht, F. (2012). New developments in FreeFEM++. Journal of Numerical Mathematics, 20(3-4), 251-268.
Lang, J. (2001). Adaptive multilevel solution of nonlinear parabolic PDE systems. Springer. https://doi.org/10.1007/978-3-662-04484-1
Larsson, S., & Thomée, V. (2003). Partial differential equations with numerical methods (Texts in Applied Mathematics, 45). Springer. https://doi.org/10.1007/978-3-540-88706-5
Nguyen, Q. H., Le, V. C., Hoang, P. C., & Ta, T. T. M. (2025). A fitted space-time finite element method for an advection-diffusion problem with moving interfaces. Applied Numerical Mathematics, 211, 61-77. https://doi.org/10.1016/j.apnum.2025.01.002
Steinbach, O. (2015). Space-time finite element methods for parabolic problems. Computational Methods in Applied Mathematics, 15(3), 251-270.
Ta, M., Pigeonneau, F., & Saramito, P. (2016, May). An implicit high order discontinuous Galerkin level set method for two-phase flow problems. Paper presented at the Ninth International Conference on Multiphase Flow, Florence, Italy. Retrieved from https://hal.archives-ouvertes.fr/hal-01323548
Ta, T. T. M., Nguyen, Q. H., & Pham, P. H. (2025). Improved a priori error estimates for a space-time finite element method for parabolic problems. arXiv preprint arXiv:2503.09229.
Thomée, V. (2006). Galerkin finite element methods for parabolic problems (2nd ed.). Springer. https://doi.org/10.1007/3-540-33467-7