PHƯƠNG PHÁP PHẦN TỬ HỮU HẠN KHÔNG – THỜI GIAN GIẢI XẤP XỈ PHƯƠNG TRÌNH PHẢN ỨNG KHUẾCH TÁN
Nội dung chính của bài viết
Tóm tắt
Trong bài báo này chúng tôi trình bày phương pháp phần tử hữu hạn không-thời gian (space-time finite element method) giải xấp xỉ phương trình phản ứng khuếch tán. Khác với các phương pháp số truyền thống phân tách xấp xỉ miền thời gian và không gian riêng biệt, phương pháp này rời rạc đồng thời miền Q = Ω × (0, T ) trên cùng một cấu trúc lưới thích nghi, giúp tối ưu chi phí tính toán và nâng cao độ chính xác của nghiệm xấp xỉ. Cách tiếp cận của phương pháp là đưa bài toán ban đầu về dạng biến phân (bài toán yếu). Tính đặt chỉnh của bài toán yếu được chứng minh thông qua việc áp dụng định lý Banach–Nečas–Babuška, đảm bảo sự tồn tại, duy nhất nghiệm. Phân tích đánh giá sai số tiên nghiệm (a priori error estimates) cho thấy phương pháp đạt tốc độ hội tụ tối ưu trong không gian tương ứng. Tính hiệu quả và độ chính xác của phương pháp được kiểm chứng qua các thí nghiệm số được xây dựng trên phần mềm mã nguồn mở FreeFEM++.
Từ khóa
Phương pháp phần tử hữu hạn không-thời gian, phương trình phản ứng khuếch tán, sai số tiên nghiệm, FreeFEM
Chi tiết bài viết
Tài liệu tham khảo
[2] Hecht, F. (2012). New developments in FreeFEM++. Journal of Numerical Mathematics, 20(3-4), 251-268.
[3] Hughes, T. J. R., & Hulbert, G. M. (1988). Space-time finite element methods for elastodynamics: Formulations and error estimates. Computational Methods in Applied Mechanics and Engineering, 66(3), 339-363.
[4] Steinbach, O. (2015). Space-time finite element methods for parabolic problems. Computational Methods in Applied Mathematics, 15(3), 251-270.
[5] Steinbach, O., & Yang, H. (2019). Space-time finite element methods for parabolic evolution equations: Discretization, a posteriori error estimation, adaptivity and solution. In U. Langer & O. Steinbach (Eds.), Space-Time Methods: Application to Partial Differential Equations (pp. 226–259). De Gruyter.
[6] Thomée, V. (2006). Galerkin finite element methods for parabolic problems (Vol. 25). Springer Series in Computational Mathematics. Springer.
[7] Meidner, D., & Vexler, B. (2008). A priori error estimates for space-time finite element discretization of parabolic optimal control problems: Part I. Problems without control constraints. SIAM Journal on Control and Optimization, 47(3), 1150-1177.
[8] Tröltzsch, F. (2010). Optimal control of partial differential equations: Theory, methods and applications (J. Sprekels, Trans.). Graduate Studies in Mathematics, Vol. 112. American Mathematical Society.
[9] Mollet, C. (2006). Parabolic PDEs in space-time formulations: Stability for Petrov-Galerkin discretizations with B-splines and existence of moments for problems with random coefficients (Doctoral dissertation, Mathematisch-Naturwissenschaftliche Fakultät, Universität zu Köln).
[10] Hao, D. N., Thanh, P. X., Lesnic, D., & Johansson, B. T. (2012). A boundary element method for a multi-dimensional inverse heat conduction problem. International Journal of Computer Mathematics, 89(12), 1745-1761.
[11] T. T. M. Ta, Q. H. Nguyen, and P. H. Pham, "Improved a priori error estimates for a space-time finite element method for parabolic problems," arXiv:2503.09229, 2025.
[12] Hoàng, T. (2003). Hàm thực và giải tích hàm. Nhà xuất bản Đại Học Quốc Gia Hà Nội.
[13] Ta, M., Pigeonneau, F., & Saramito, P. (2016, May). An implicit high order discontinuous Galerkin level set method for two-phase flow problems. In 9th International Conference on Multiphase Flow (ICMF-2016), Florence, Italy. https://hal.archives-ouvertes.fr/hal-01323548
[14] Frey, P., Kazerani, D., & Ta, T.T.M. (2018). An adaptive numerical scheme for solving incompressible 2-phase and free-surface flows. International Journal for Numerical Methods in Fluids, 87(11), 543–582. https://doi.org/10.1002/fld.4502
[15] Q. H. Nguyen, V. C. Le, P. C. Hoang, T. T. M. Ta (2025), A fitted space-time finite element method for an advection-diffusion problem with moving interfaces, Applied Numerical Mathematics, Volume 211, 61-77, https://doi.org/10.1016/j.apnum.2025.01.002.